起初引入复数的原因只是为了使诸如

x^2+1=0

这样的方程有解什么是虚数。

但到了17，18世纪，随着微积分的发明与发展，复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应了起来，从而解决了很多实际问题。

1777年，欧拉建立的系统的复数理论，发现复指数函数与三角函数的关系，从而创立了复变函数的一些基本理论，并应用到了水利学和地图制图学中。

19世纪后复变函数已经渗透到了代数学，解析数论，微分方程，概率统计，计算数学和拓扑学等数学分支。同时它在热力学，流体力学和电学等方面也有广泛应用。